Вписване на промяна на работодателя по смисъла на чл. 123 от КТ в трудовите книжки

Едно лице е едноличен собственик на две търговски дружества, като планира да прехвърли дейността на дружество „Х“ към дружество “Y” (и евентуално впоследствие да ликвидира дружество „Х“). Персоналът на първото дружество ще бъде прехвърлен във второто по чл. 123, ал. 1, т. 7 от КТ (преотстъпване или прехвърляне на дейност от едно предприятие на друго, включително прехвърляне на материални активи). Всички трудови правоотношения се запазват при заварените условия на труд. Въпросът ни е: трябва ли да се впише промяната в трудовите книжки?